Kaip atsiriša superfluidinio sūkurio mazgai | gamtos fizika

Kaip atsiriša superfluidinio sūkurio mazgai | gamtos fizika

Anonim

Dalykai

  • Bose – Einšteino kondensatai
  • Skysčio dinamika
  • Fizika

Anotacija

Fizinėse sistemose dažnai susidaro mazgai ir jungtys, įskaitant supurtytas 1 virvės ir DNR dalis (2 nuoroda), taip pat subtilesnę sūkurių struktūrą skysčiuose 3 ir magnetinius laukus 4 plazmoje. Skystųjų skysčių srautų teorijos neprognozuoja, kad šios susiliejusios struktūros išlieka 5, suvaržančios srauto evoliuciją panašiai kaip mazgas, surištas batų segtuku. Šis suvaržymas sukuria konservuotą kiekį, vadinamą sraigtiniu 6, 7, siūlančiu ir pagrindines įžvalgas, ir viliojančias galimybes kontroliuoti sudėtingus srautus. Tačiau net ir nedideli išsisklaidymo kiekiai leidžia mazgus atsieti atliekant „pjaustymo ir sujungimo“ operacijas, žinomas kaip pakartotinis sujungimas 3, 4, 8, 9, 10, 11 . Nepaisant galimo šių jungčių vaidmens suprantant sraigumą ir apskritai mazgų laukų stabilumą, jų poveikis žinomas tik keletui paprastų mazgų 12 . Čia nagrinėjame 322 elementarių mazgų ir jungčių evoliuciją „Gross – Pitaevskii“ modelyje, kad būtų superfluidas, ir nustatome, kad jie visuotinai atsiejami. Mes pastebime, kad centrinės linijos spiralė iš dalies išsaugoma, net nesusiejant mazgų - tobulai išsaugotos spiralės liekanos, numatytos idealizuotiems skysčiams. Be to, mes pastebime, kad topologiniai mazgų atsiribojimo būdai yra paprasti ir aprašyti minimaliomis dvimatėmis mazgų schemomis ir linkę susikaupti būsenose, kurios yra pasuktos tik viena kryptimi. Šie rezultatai turi tiesioginę analogiją ankstesniems paprastų mazgų tyrimams keliose sistemose, įskaitant DNR rekombinaciją 2 ir klasikinius skysčius 3, 12 . Šis geometrinės ir topologinės evoliucijos panašumas leidžia manyti, kad mazgų elgesys dispersiniuose laukuose yra universalus.

Pagrindinis

Susiejimas mazgo jau seniai yra stabilumo kūrimo metafora ir dėl rimtos priežasties: norint atsukti net įprastą mazgą, reikia arba žirklių, arba sudėtingų judesių. Šis išsilaikymas turi svarbių pasekmių gijinėms fizinėms struktūroms, tokioms kaip DNR, kurių elgesį keičia mazgai ir saitai 9, 13 . Analogiškas poveikis gali būti matomas fiziniuose laukuose, pavyzdžiui, magnetiniuose laukuose plazmose ar sūkuriuose skysčio sraute; abiem atvejais idealizuotų modelių mazgai niekada neatsiejami, todėl gaunamas naujas konservuotas kiekis 6, 14 . Tuo pačiu metu yra daugybė pavyzdžių, kai realių (neidealių) fizinių sistemų verčiamas joms susikabinti mazgas: sūkuriai esant klasikiniam ar superfluidiniam turbulencijai 15, 16, magnetiniai laukai Saulės koronoje 4 ir kondensuotų medžiagų fazių defektai. 10 . Tai nuginčija: kodėl ne viskas įstringa susivėlusiame tinkle, panašiai kaip ausinių laidai kišenėje 1 ?

Visose šiose sistemose „pakartotiniai prisijungimo įvykiai“ leidžia laukams atsijungti, pjaunant ir sujungiant greta esančias linijas / konstrukcijas (1a pav.; Žr. 3, 4, 8, 9, 10, 11). Dėl to mazgų balansas ir pagrindinis jo, kaip fizinių sistemų evoliucijos suvaržymo, vaidmuo kritiškai priklauso nuo supratimo, ar ir kaip šie mechanizmai sukelia mazgų atsiribojimą.

Image

a, Sūkurio sujungimo įvykio schema, šiuo atveju trefoil mazgą (K3-1) paverčiant sujungtų žiedų pora (L2a1). b, „idealus“ arba mažiausias virvės ilgio trefoil mazgas. c . Naudojant idealaus mazgo vidurio liniją, gaunama vienoda ir vienoda bet kurio mazgo ar jungties geometrija; netoliese esančios sruogos yra tiksliai išdėstytos lyno skersmeniu, lynu, kuris tampa būdingu mazgu sudarančių kilpų spinduliu r 0 . d, idealių topologijų konfigūracijų, turinčių skirtingą minimalų kirtimo skaičių, pavyzdys, n . Topologijų skaičius, išskyrus veidrodines poras, nurodomas laužtiniuose skliaustuose. e, 2D pjūvis superfluido eiliškumo parametro fazės lauko su mazgu sūkurio linija (šviesiai mėlyna). f, Minimalių mazgų diagramų pavyzdys; kiekvienu atveju topologijos negalima pavaizduoti paprastesne plokščia schema. Nurodomas kiekvieno kirtimo chirališkumas.

Visas dydis

Ankstesni mazgų laukų raidos tyrimai apsiribojo gana paprastomis topologijomis arba idealizuota dinamika 3, 9, 17, 18 . Pateikiame sistemingą visų pagrindinių topologijų iki devynių kryžmių elgsenos tyrimą, imituodami pavienius kvantinio sūkurio mazgus Bruto – Pitaevskio lygtyje (GPE, (1) lygtis). Dūmų dūmų žiedų, esančių ore, virpių skysčiuose ar superlaidintuvuose kvantinis atitikmuo yra kvantinės eilės parametro linijinės fazės defektai,

Image

, kur ρ ir φ yra erdvėje kintantis tankis ir fazė (1e pav.). GPE yra naudinga pavyzdinė sistema topologinei sūkurio dinamikai tirti: sūkurinės linijos lengvai atpažįstamos, pakartotiniai sujungimai vyksta nesiskiriant nuo fizikinių dydžių, o neseniai buvo įrodyta, kad paprastų mazgų elgesys yra panašus į klampių skysčių eksperimentus 12 .

Ne dimensinės formos bruto ir Pitaevskio lygtis pateikiama 19 :

Image

kur šiuose vienetuose kiekybinė cirkuliacija aplink vieną sūkurio liniją yra gaunama: Γ = ∮ d ℓ ⋅ u = 2π. GPE turi būdingą ilgio skalę, vadinamą „gydomuoju ilgiu“, corresponds, kuri atitinka tankio išeikvotos srities aplink kiekvieną sūkurio šerdį dydį ( ξ = 1 mūsų negimdiniuose vienetuose, jei foninis tankis yra ρ 0 = 1).

Norint sukurti mazgo sūkurį superfluid modelyje, reikia apskaičiuoti erdvę užpildančią kompleksinę funkciją, kurios fazių lauke yra mazgas. Šis sudėtingas žingsnis apsiribojo ankstesniais tyrimais tik su vienos mazgo šeima tam tikroje geometrijoje 8 . Skaitmeniškai integruodami klasikinio skysčio sūkurio srauto lauką, mes sukuriame bet kurios topologijos ar geometrijos 12 (1e pav. Ir 1 papildomas filmas) fazinius laukus su defektais (sūkuriais), leidžiančius mums ištirti kiekvieno pagrindinio mazgo raidą ir sąsają su devyni ar mažiau sankryžų, n ≤ 9.

Norėdami sukonstruoti pradines skirtingų topologijų formas, mes pradedame nuo kiekvieno mazgo „idealios“ formos, lygios trumpiausio mazgo, surišto virve, kurios storis r 0, formai (1b – d pav.; 20 pav.). Yra žinoma, kad šios kanoninės formos atspindi pagrindinius mazgo tipo aspektus, taip pat apytiksliai nustato atsitiktinių mazgų vidutines savybes 21 . Kiekvienai idealiai formai mes atsižvelgiame į tris skirtingus bendras žvynus, atsižvelgiant į gydomąjį ilgį: r 0 / ξ = {15, 25, 50}. Norėdami sulaužyti bet kokią formos simetriją ir patikrinti, ar mūsų rezultatai yra tvirti, mes taip pat atsižvelgiame į keturias atsitiktinai iškraipytas kiekvieno mazgo versijas, kurių n ≤ 8, skalėje r 0 = 15 ξ (išsamų konstrukcijos aprašymą žr. Metodai).

2a paveiksle ir 2 papildomame filme parodytas 6 kryžminio mazgo, K6-2, evoliucija, nes jis suvienodėja. (Mes žymime nuorodas ir mazgus naudodami apibendrintą žymėjimą pagal „mazgų atlasą“, //katlas.org.) Galima pastebėti, kad mazgas deformuosis sūkurių pakartotinių sujungimų serijos link, kurie palaipsniui supaprastina mazgą, kol liks tik nepažymėti žiedai (neužmegzti mazgai). . Anksčiau toks elgesys buvo stebimas paprastų mazgų ir nuorodų saujai; čia mes matome tą patį elgesį visuose 1 458 imituotuose sūkurių mazguose. Be to, pažymime, kad evoliucionuojant pakankamai sudėtingam mazgui, susidaro smarkiai iškraipytos paprastesnių sūkurinių mazgų formos, kurios visos savo ruožtu pasižymi panašia atsiejimo dinamika kaip jų idealiai suformuotos kolegijos.

Image

a, Atsitiktinai iškraipyto 6 kryžminio mazgo (K6-2, r 0 = 50 ξ ) atsiejimas nepaženklintų žiedų kolekcijai. Kiekvienam žingsniui rodomas pakeistas laikas, t ′ = t × Γ / r 0 2 . Viršutinėje dalyje parodytas vietinės tvarkos parametro tankis izo paviršiai (raudonas, | ψ | 2 = 1/2), o permatomuose paviršiuose (arbatžolių arba purpurinės spalvos) yra pastovus fazės izo paviršius. Kiekvienas tūris buvo sutelktas į sūkurį, kuris priešingu atveju galėtų judėti vertikaliai; parodyta tik 48% modeliavimo apimties. b. Atsiejimų / atsiejimų modeliavimo dalis, priklausanti nuo laiko funkcijos, apskaičiuota 322 idealių mazgų modeliavimui, kai r 0 = 50 ξ . Vidutinis nenukreipimo laikas yra nurodytas raudonai. c - e, 2D santykinio ilgio, sūkurio energijos ir sraigtinės histogramos kaip laiko funkcija visoms pirminėms topologijoms, kai n ≤ 9. Brūkšniuotos linijos nurodo vidutines reikšmes. Sraigto histogramoje ( e ) yra tik 269/322 topologijos, kurių h 0 ≥ 1. Žr. Papildomą 2 paveikslą, kuriame pateikiamos panašios histogramos kiekvienoje modeliavimo grupėje.

Visas dydis

Sūkurio dinamiką mes apskaičiuojame apskaičiuodami ilgio, sūkurio energijos ir sraigto ilgį, kaip laiko funkciją (2c – e pav. Ir 2 papildomas paveikslas, išsamiau žr. „Metodai“). Sūkurio energija, apskaičiuota pagal superfluidinės fazės defekto formą, matuoja energiją, susijusią su sūkuriniu srautu, o ne garso bangomis. Bendra energija (iš sūkurių ir garso bangų) yra išsaugoma GPE, nebent pridedamas išsklaidomasis terminas; mes to neįtraukiame.

Nes dimensinis „vidurio linijos sraigtas“ h, kuris matuoja bendrą rišimą, mazgų sudarymą ir ribojimą lauke, pateikiamas 6, 7, 12, 22 :

Image

kur Lk ij yra susiejantis skaičius tarp sūkurinių linijų i ir j , o Wr i yra 3D eilutės i brėžinys, kurį sudaro mazgai, taip pat spiralinės ritės. Atkreipkite dėmesį, kad sraigtasniškumas klasikiniame skystyje apimtų terminą, proporcingą šerdies viduje esančiam posūkiui (žr. „Sukimosi aptarimo metodai esant super skysčių šerdims“).

Iš mūsų rezultatų galima aiškiai atskirti tris bendras tendencijas: nukirsto laiko trukmė daugiausia nustatoma pagal bendrą mazgo skalę, r 0 / ξ , kur r 0 yra idealios formos virvės storis, naudojamas pradinei būsenai sukurti (pav. 3a – d); sraigtas nėra tiesiog išsklaidomas, o greičiau paverčiamas iš jungčių ir mazgų į spiralines ritės, kurių efektyvumas priklauso nuo masto (3e – h pav.); ir sūkurinės linijos ištempiamos ∼ 20%, kai jos atsiriša, nors sūkurio energija šiek tiek sumažėja. Atkreipiame dėmesį, kad sūkurio energija keičiasi vėl jungiantis, nes dalis energijos virsta garso bangomis (pagal ankstesnius susidūrimo žiedų stebėjimus 23 ). Įdomu tai, kad visi šie rezultatai, matyt, vidutiniškai nepriklauso nuo mazgo sudėtingumo: jei toje pačioje skalėje r 0, paprasti mazgai atsijungia taip pat greitai, kaip ir sudėtingi, ir praranda tą patį santykinį sraigtinės ir sūkurinės energijos kiekį (papildomas pav. 3). Be to, pažymime, kad šie rezultatai taip pat atitinka ankstesnius bandymų klampių skysčių mazgų ir 12, 24 Biot-Savart modeliavimo rezultatus.

Image

Pakeistos atsiejimo laiko ( ad ) ir nesusijusio pradinio sraigto ( eh ) histogramos keturioms skirtingoms modeliavimo grupėms: ac, eg, visi 322 idealūs mazgai, kurių n ≤ 9, r skalėje 0 = {15, 25, 50} ξ . d, h, keturios atsitiktinai iškraipytos kiekvieno n ≤ 8 idealaus mazgo versijos, kurių r 0 = 15 ξ ir σ = 0, 25 r 0 (iš viso 492 modeliai). a - d, Atsiejimo laiko pasiskirstymą gerai apibūdina log-normalusis pasiskirstymas (brūkšniuota raudona linija): P ( t ′) ∝ (1 / t ′) exp [- ((ln t ′ - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ))], kur vidutinis nugriebimo laikas yra 〈 t ′〉 ≈ exp μ = {4.0, 3.9, 3, 5, 3, 7}, o sklaida yra σ = {0, 37, 0, 41, 0, 44, 0, 47} atitinkamai a - d . . e - h, galutinis sraigtas yra maždaug proporcingas pradiniam sraigtui (raudona linija). Sraigto išlikimo laipsnis priklauso nuo bendro masto, tačiau, matyt, tam įtakos turi tik nedaug, atsitiktinai iškraipydami mazgus. (Šį nedidelį skirtumą galima paaiškinti tuo, kad mazgai yra iš tikrųjų didesni dėl iškraipymo.)

Visas dydis

Anksčiau buvo pastebėtas trišakio mazgo ir susietų žiedų klasikiniuose skysčiuose 12 mazgų ir jungčių spiralių pavertimas spiralinėmis ritėmis. Tai galima paaiškinti geometriniu mechanizmu. Po kiekvieno pakartotinio sujungimo įvykio ant pakartotinai sujungtų sūkurių gaminamos sraigtinės su ilgio skalėmis. Jei daroma prielaida, kad pakartotinis ryšys yra idealiai lygiagretus be jokio erdvinio atjungimo, tikimasi, kad šis procesas tiksliai išlaikys sraigtą 12, 25 . Tačiau GPE spiraliniai iškraipymai gydomojo ilgio skalėje yra spinduliuojami kaip garso bangos (papildomas filmas 4). Dėl to stebime vidutinį sraigtos praradimą, apytiksliai Δ h / h 0 ∝ ( r 0 / ξ ) −0, 5 . Pažymėtina, kad šie rezultatai leidžia manyti, kad mastelis tampa labai didelis, r 0 ≫ ξ , o sraigtas išsaugojimas turėtų būti atkurtas, nors mazgai vis dar nėra atsieti.

Jei daroma prielaida, kad koncentruoti sūkurio pasiskirstymai visada plėsis, pastebėjimas, kad mazgai visuotinai atsiejami, yra intuityvus. Neminkytų sūkurinių žiedų kolekcijos gali atsiskirti neištempdamos atskirų sūkurio linijų, tačiau susieta ar mazguota struktūra turi ištempti, kad išsiplės. Tuo pačiu metu, jei sistema neišnaudota, sūkurinės linijos turi persiorientuoti, kad taupytų energiją, nes jos ištempiamos: kaip anksčiau buvo pastebėta paprastiems mazgams, susidarant artimai išdėstytoms, antiparallelinėms sūkurių poroms, sumažėja energija ilgio vienetui 3 . Toliau tęsiantis, šie antiparalleliniai regionai yra artinami vienas kitam, kol galiausiai atsinaujina; šis procesas tęsiasi tol, kol mazgai yra visiškai atsieti. Atkreipiame dėmesį, kad daugeliu atvejų ištempimas staiga nutrūksta, kai mazgai baigia atsieti (papildomas 1 pav.), Laikydamiesi šio aiškinimo. Įdomu tai, kad toks paveikslas natūraliai sukuria ir antiparallelinio sujungimo geometriją, kuri palaiko sraigtų išsaugojimą.

Pirmiau pateikti rezultatai rodo didžiulį sūkurinių mazgų polinkį atsirišti, tačiau jie neišaiškina specifinių topologinių kelių, kurie sukelia šį atsiribojimą. Norėdami išmatuoti šias nenukreiptas sekas, mes nustatome sūkurių topologiją T i po kiekvieno pakartotinio sujungimo, apskaičiuodami jų HOMFLY-PT polinomus 26, 27 . Dėl didelio idealių mazgų simetriškumo, pakartotiniai sujungimai dažnai beveik nesutampa su laiku ir neleidžia nustatyti tarpinės topologijos. Norėdami išvengti šios komplikacijos, atsižvelgiame tik į atsitiktinai iškreiptus mazgus, kurie sulaužo šią simetriją.

Pirmasis mūsų išnagrinėtas klausimas - ar mazgas kiekviename žingsnyje supaprastėja. Kiekio mazgą mes įvertiname kiekvieno mazgo kirtimo skaičiumi n , naudodamiesi minimalia dviejų dimensijų (2D) diagrama (1f pav.), Kuri yra topologinė mazgo variacija. 2 papildomoje lentelėje parodyta pervažiavimo skaičiaus šuolių per visus pakartotinius sujungimus statistika. Atskleidžiantys mazgai yra maždaug tokio dydžio, kad labiau tikėtina „atsikabinti“ (Δ n <0) nei „retie“ (Δ n > 0) kiekviename atskirai. pakartotinis prisijungimas. Vidutiniškai daugiau nei viena sankryža pašalinama per kiekvieną pakartotinį sujungimą, pabrėžiant tai, kad fizinis sūkurių pakartotinis sujungimas 3D formatu nėra lygus vieno kryžmens pašalinimui (arba pridėjimui) iš 2D minimalaus mazgo diagramos. Nepaisant to, minimalios diagramos rodo aiškią topologinio supaprastinimo tendenciją.

Jei kiekvienas pakartotinis sujungimas neatitinka vieno kryžiaus „pašalinimo“ iš 2D mazgo schemos, ar vis tiek įmanoma pateikti intuityvų šių įvykių aprašą tokiomis schemomis? Į šį klausimą galima atsakyti atsižvelgiant į 2D topologinį rašymą w ( T i ), kuris gaunamas sumažinant kiekvieno kirtimo tiesumą (± 1) minimalaus mazgo diagramoje (gauta iš nuorodos 28). Pažymėtina, kad didžioji dalis (96, 1%) pakartotinio prisijungimo įvykių tik prideda / pašalina to paties ženklo sankryžas iš 2D schemų, tai yra, | Δ n | = | Δ w | (įskaitant įvykius su vienos perėjos pašalinimu). Kaip parodyta 4b, c pav., Pakartotiniai sujungimai, tenkinantys šią sąlygą, yra lygiaverčiai lygiagrečiosios arba antiparallelės porų atsipalaidavimui 2D diagramoje. Atsižvelgiant į minimalias diagramas, kelių kryžmių pašalinimas atliekamas pakartotinai sujungiant antiparallelę, po to atjungiant topologiškai trivialią kilpą I tipo Reidemeister judesiais 29, 30 (4b pav.). Galimi pakartotiniai sujungimai ir sudėtingesni supaprastinimai (pavyzdžiui, įtraukiant II tipo Reidemeister judesius); tačiau pastebima, kad tokie reiškiniai yra reti.

Image

a, stebėto 6 kryžminio mazgo skilimo kelio mazgų diagramos; visus veiksmus galima apibūdinti vietiniais atsukimo įvykiais. Kiekvienai schemai paženklintas minimalus perėjimo skaičius n ir topologinis rašinys w . b, c, Beveik visus pakartotinio sujungimo įvykius galima klasifikuoti kaip vytos poros atsipalaidavimą antiparallelėje arba lygiagrečioje padėtyje; abiem atvejais Δ n = - | Δ w |. Antivirusinių porų pakartotiniai sujungimai yra lygiaverčiai kryžminio kelio pašalinimui kartu su vienu ar daugiau I tipo Reidemeister judesių.

Visas dydis

5 paveiksle ir 5 papildomame filme parodytas kiekvieno mazgo, kuriame n ≤ 8, topologinis raštas ir kryžminis skaičius, įskaitant neprimizuotas topologijas, sujungtas linijomis, nurodančiomis stebimų nenukreiptų takų dažnį. (Tai panašu į diagramas, kurios anksčiau buvo sudarytos siekiant supaprastinti skirtingų tipų mazgus 31. ) Be aukščiau pateiktų rezultatų iliustravimo, ši schema parodo „maksimaliai chirologinės“ topologijos svarbą, kuriai | w | = n . Bet kurio mazgo ar saito topologinis raštas ribojamas kryžiavimų skaičiumi; maksimaliai chiraliniai mazgai ir saitai prisotina šią ribą, kuri atitinka kiekvieną kirtimą, turintį tą patį ženklą.

Image

Kvadratai rodo bendrą topologijų skaičių kiekviename taške, įskaitant nepriimtinius saitus / mazgus; viršuje parodyti penki topologijų pavyzdžiai. Atskaitos taškais naudojamos keturios atsitiktinai iškraipytos kiekvieno n = 8 pagrindinio saito / mazgo kopijos (pažymėtos baltais taškais; atsižvelgiama tik į vieną chiralinės topologijos ranka). Žalia ir mėlyna linijos žymi pakartotines jungtis, kurios sumažina perėjimo skaičių, o raudonos linijos rodo įvykius, kurie padidina perėjimo skaičių. Lengvai užtemdyta sritis rodo maksimaliai chiralinę topologiją.

Visas dydis

Nepaisant to, kad tik maždaug trečdalis visų n ≤ 8 topologijų yra maksimaliai chiralinės, 82, 6% šuolių baigiasi tokia būsena. Šio kelio dominavimas aiškinamas paprastai: jei darysime prielaidą, kad visi persijungimai tenkina | Δ n | ≥ | Δ w |, atitinkantis | Δ n / Δ w | nuolydį ≥ 1 5 pav., Kai sūkurio mazgas suskaidomas į maksimaliai chirurginę topologiją, jis gali išeiti iš tokios būsenos tik padidindamas jo kirtimo skaičių. (Nors pastebėjimas, kad | Δ n | ≥ | Δ w | atrodo savaime suprantamas dalykas, kai svarstomos minimalios kirtimo schemos, mes nežinome apie šio ryšio įrodymą. Nepaisant to, mes niekada nestebime pakartotinių ryšių, kurie jį pažeidžia.) Iš tikrųjų, dėl „tarpas“ tarp maksimaliai ir ne maksimaliai chiralinės būsenos, kirtimo skaičius turi padidėti Δ n ≥ +2, kad būtų palikta maksimaliai chiralinė šaka. Be to, net tuo atveju, jei kirtimo skaičius padidėja šiuo kiekiu, mes pastebime, kad jis vis tiek išlieka ant maksimaliai chiralinės šakos. Taigi statistiškai dauguma mazgų yra sujungiami į maksimaliai chirurginį kelią jų atsiejimo metu, po kurio jie suyra tik šiuo keliu.

Mūsų stebimas maksimaliai chiralinis kelias yra anksčiau žinomo rezultato apibendrinimas specifinei DNR mazgų rekombinacijai vietoje: bet kuris p = 2 torto mazgas / saitas (kurie visi yra maksimaliai chiraliniai) gali virsti kitu p = 2 torto mazgu persijungimo priemonės tik tuo atveju, jei perėjos skaičius mažėja 2 . Mūsų rezultatai rodo, kad šis torto mazgo kelias yra vienas iš bendresnių reiškinių pavyzdžių. Intuityviai tariant, tai rodo, kad atsiribojantys mazgai dažniausiai baigiasi būsenomis, kurios yra pasuktos tik viena chiraline kryptimi.

Apskritai pastebime, kad superlaidžių sūkurinių mazgų ir jungčių topologinis elgesys gali būti suprantamas paprastais principais. Visi sūkurio mazgai yra atsieti, ir jie linkę tai daryti efektyviai: monotoniškai mažindami jų kirtimo skaičių, kol jie yra nepasirašytų sūkurių kolekcija. Tai rodo, kad ne trivialioji sūkurių topologija superfluiduose arba bet kuriuose kituose panašios topologinės dinamikos skysčiuose turėtų atsirasti tik dėl išorinio važiavimo. Net ir vairuojant stebimi skilimo takai rodo, kad sūkuriai greičiausiai įsitvirtins maksimaliai chirurginėje topologijoje; būtų labai įdomu ištirti tokias būsenas esant dideliam skysčių ar klasikiniam turbulencijai.

Stebimi superfluidinių mazgų evoliucija ir atsiejimo dinamika labai primena klasikinių skysčių ir DNR rekombinacijos 2, 3, 12 pokyčius . Šie panašumai išlieka, nepaisant esminių šių sistemų skirtumų, ypač atsižvelgiant į mažos apimties detales apie sujungimo procesus, lemiančius topologijos pokyčius. Tai rodo, kad jie gali būti taikomi dar plačiau, sudarant universalų mechanizmų rinkinį, siekiant suprasti mazgų evoliuciją įvairiose dispersinėse fizinėse sistemose.

Metodai

Modeliavimo detalės.

Aukšto skysčio eiliškumo parametro raidos laikas buvo apskaičiuotas skaitine integracija į Bruto – Pitaevskio lygtį, naudojant padalijimo žingsnio spektrinį metodą išilgai 8, 12 nuorodų. Modeliavimui, kurio vidutinis spindulys r 0 / ξ = {15, 25}, naudojame tinklelio dydį Δ x = 0, 5 ξ , modeliavimo laiko žingsnį Δ t = 0, 02 ir išsaugome atsektus sūkurio takus su Δ T intervalu. = 1. Modeliavimui, kai r 0 = 50 ξ , apskaičiuojame griežtesnį modeliavimą, kai Δ x = 1 ξ , Δ t = 0, 1 ir Δ T = 4. Radialinis atstumas nuo sūkurių, kuriuose yra užsakymo parametras, | ψ | atkuria pusę savo tolimojo lauko vertės (dažnai vadinamos „šerdies dydžiu“), nustatoma pagal gydomąjį ilgį ir yra maždaug R ∼ 2 ξ . Norint patvirtinti, kad šiurkštesni modeliavimai nedaro reikšmingo poveikio apskaičiuotam sūkurio ilgiui ir sraigtui, buvo naudojamas nedidelis to paties dydžio mazgo modeliavimas skirtingomis rezoliucijomis (Δ x / ξ = {0, 25, 0, 5, 1}). (triukšmas šiuose apskaičiuotuose kiekiuose didėja, bet mes nepastebime sistemingų skirtumų). Bendras periodinio modeliavimo dėžutės dydis buvo L / ξ = {128, 192, 384}, atitinkamai r 0 / ξ = {15, 25, 50}. Kartais maži sūkuriniai žiedai, išstumti iš atsiribojančių sūkurių, sąveikauja su savo periodiniais partneriais, pereidami ribą; Paprastai tai atsitinka tik tada, kai sūkuriai yra atsieti. Norėdami įsitikinti, kad dėžutės dydis neturi įtakos mazgo elgesiui, mes modeliavome tą patį mazgą keliais skirtingais dydžiais periodiškai; mes pastebime, kad mazgas elgiasi praktiškai vienodai, jei jis yra nutolęs nuo kelių periodinių partnerių daugiau nei keliais r 0 (praktiškai sudėtingiausių mazgų maksimalus plotas yra tik maždaug pusė modeliavimo krašto ilgio). dėžė).

Atkreipiame dėmesį, kad mes naudojame GPE versiją be išsisklaidymo, taigi visa energija yra taupoma. Skaitmeniškai yra keletas nedidelių nuostolių (visada mažiau nei 1 % ir paprastai mažiau nei 0, 2 % ), o tai neturi reikšmės jokiems mūsų rezultatams. Į GPE apibrėžimą taip pat įtrauktas cheminis potencialas μ = −1 (be matmenų vienetais); tai pridedama norint pašalinti bendrą fazės sukimąsi. Pašalinus šį papildomą terminą būtų gaunami matematiškai vienodi rezultatai, nes bendra fazė nėra fiziškai reikšminga.

Pradinė valstybės statyba.

Pradinių būsenų fazių laukai buvo sukurti naudojant brutalios jėgos integraciją į Biot – Savart sukurtą srauto lauką, u BS, kuris yra susijęs su fazės gradientu per santykį:

Image

Šis metodas yra išsamiau aprašytas nuorodoje. 12. Pradinės fazės lauko pavyzdys parodytas 1e pav. Ir 1 papildomame filme.

Pradinis tankio laukas, ρ = | ψ | 2, buvo apskaičiuotas naudojant apytikslę formą, gautą begalinei tiesiai sūkurinei linijai 32 :

Image

kur r buvo laikomas atstumas iki artimiausios sūkurinės linijos.

Norėdami užtikrinti nuoseklumą tarp skirtingų topologijų, mes pasirenkame „idealią“ kiekvieno mazgo formą, lygią trumpiausio mazgo, surišto riboto storio virve, formai (1b – d pav.; 20 nuoroda). Yra žinoma, kad šios kanoninės formos užfiksuoja mazgo tipą, taip pat apytiksliai nustato atsitiktinių mazgų 21 vidutines savybes, todėl jos tampa naudinga kiekvienos topologijos geometrine forma. Idealių mazgų formos skirtingoms topologijoms buvo gautos iš internetinio šaltinio (//katlas.math.toronto.edu/wiki/Ideal_knots) ir iš pradžių buvo generuojamos naudojant SONO metodą 20 .

Norėdami sukurti atsitiktinai iškraipytus mazgus, mes apskaičiuojame atsitiktinai normaliai paskirstytą vektorių δ kiekvienam taškui, esančiam nagrinėjamo sūkurinio mazgo daugiakampyje. Tada mes išlyginame šį vektorių gaussianu, kurio plotis σ = 0, 5 r 0 (matuojamas pradinės sūkurio linijos keliu), pašaliname pradinio mazgo tangencialą atitinkantį komponentą ir keičiame poslinkio vektorių taip, kad that | δ | 2 〉 = (0, 25 r 0 ) 2 . Šis poslinkis pridedamas prie pradinių koordinačių, kad būtų iškraipytas mazgas. Atsitiktinai iškraipytų mazgų pavyzdžiai parodyti 2a pav. Ir 3d pav. Straipsnyje pateiktiems duomenims buvo paimtos keturios atsitiktinai sujauktos kiekvieno n ≤ 8 mazgo / jungties (4 x 123 konfigūracijos) kopijos, kurių skalė r 0 = 15 ξ . Buvo svarstomas nedidelis atsitiktinai iškraipytų mazgų skaičius didesniame mastelyje, darantis kokybiškai panašų poveikį kaip neiškreiptų idealių mazgų mastelio didinimas.

Sūkurio elgesio kiekybinis įvertinimas.

Kiekvienam išsaugotam laiko žingsniui gaunamas daugiakampis sūkurio formos vaizdas, tiriant superfluido eiliškumo parametro fazinius defektus imitacijos tinklelio nustatyta skiriamąja geba (paprastai gaunant ≳ 10 3 taškus). Be to, fazė normali,

Image

, apskaičiuojamas kiekvienam sūkurio taškui nustatant nulinės fazės kryptį, kuri yra statmena sūkurio keliui. Visos paskesnės savybės (sūkurio energija, sraigtis ir ilgis) apskaičiuojamos šiuo keliu.

Norėdami nustatyti momentą, nuo kurio mazgas baigiasi atsiejimas, rasime momentą, kai jo HOMFLY-PT polinomas yra lygiavertis atsiribojusiems mazgams (žr. Toliau „Sūkurio topologijos identifikavimas“). Nenukreiptų laikų histograma, 3a – d pav., Atitinka log-normalųjį pasiskirstymą. Pastebime, kad tinkamai pritaikius laiką, vidutinis kiekvienos modeliavimo grupės nenukirsto laiko intervalas yra un t unknot 〉 ( 3, 5–4, 0 ) r 0 2 / Γ ( r 0 yra lyno, kuriame lynas yra idealus mazgas yra surištas).

Kaip teigiama pagrindiniame tekste, mes apskaičiuojame centrinės linijos sraigtą be matmenų:

Image

Nors tai galima apskaičiuoti tiesiai iš daugiakampių kelių, šis metodas reikalauja ypatingų svarstymų, kaip susieti ryšį per periodines ribas. Arba galime pastebėti, kad pastovios fazės paviršius apibūdina „Seiferto kadrą“ kiekvienam mazgui / saitai, laikydamasis h + ∑ i Tw φ , i = 0 (nuoroda 22), kur Tw φ , i yra fazės posūkis. normalus apie sūkurio kelią:

Image

kur

Image

nurodo uždarą sūkurio kelią i , ∂ yra kelio ilgio darinys ir

Image

yra vienetinis vektorius, esantis išilgai lygios fazės paviršiaus ir statmenas sūkurio linijos liestinės vektoriui tame taške. Kadangi visą posūkį galima lengvai skaitmeniniu būdu integruoti iš sūkurio kelio ir normalios fazės, tai yra efektyvus metodas apskaičiuoti centro linijos sraigtį. Mes skaitmeniškai patvirtinome, kad šis metodas suteikia rezultatų, lygų tiesioginiam susiejimo ir rašymo skaičiavimui, iki skaitmeninio tikslumo.

Energija, susijusi su sūkuriais virš skysčio (priešingai nei garso bangos), E v, apskaičiuojama pagal „kelio induktyvumą“ 3,

Image

, sūkurio centro linijų:

Image

Image

kur L i yra visas sūkurinės kilpos i ilgis.

Α ≅ 1, 615 yra be matmenų pataisos koeficientas, pasirinktas norint gauti teisingą sūkurinio žiedo energijos vertę GPE (nuoroda 33). Siekiant atsižvelgti į periodinį modeliavimo pobūdį, kryžminis induktyvumas įtraukiamas į 3 x 3 × 3 periodinio sūkurio takų masyvą (įskaitant daugiau periodinių kopijų, todėl skaičiavimo tikslumas pagerėja, tačiau skirtumas paprastai yra tik maža dalis a procentų). Atkreipkite dėmesį, kad bendra skysčio energija yra išsaugota, todėl sūkurio energijos sumažėjimas atitinka energijos bangų energijos padidėjimą. Didžioji dauguma sūkurių energetinių pokyčių įvyksta persijungimo metu arba iškart po jo; kitaip apskaičiuota energija yra beveik pastovi.

Sūkurio topologijos identifikavimas.

Norint nustatyti superfluidinių sūkurių topologiją kiekviename žingsnyje, daugiakampis sūkurio vaizdas pirmiausia sumažinamas iki minimalaus įmanomo taškų skaičiaus, nekeičiant topologijos (šiame etape taip pat pašalinami nekirpliukai, jei jie nėra sriegiuojami jokiu kitu sūkuriu) linijos). Sumažinus sūkurius, jie projektuojami į savavališką 2D plokštumą ir nustatomos numatomos sankryžos bei jų ranka; polinomas HOMFLY-PT sukuriamas tiesiai iš šio kirtimo sąrašo. Šis polinomas lyginamas su HOMFLY-PT polinomų visų topologijų (įskaitant chiralines poras, orientuotas nuorodas ir jungiamuosius bei jungtinius mazgus / saitus) su HOMFLY-PT polinomų duomenų baze, kurių minimalus perėjimo skaičius yra n ≤ 10. Kaip minėta pagrindiniame tekste, mes pažymime topologijas pagal „Knot Atlas“, //katlas.org naudojamą formatą, pavyzdžiui, „krovos mazgas“ yra K6-1, o „K“ nurodo, kad jis yra mazgas (palyginti su nuoroda, „L“). '), n = 6 yra minimalus kirtimo skaičius (1f pav.), o likusi dalis nurodo savavališką užsakymą.

HOMFLY-PT polinomų pirminių topologijų duomenų bazė buvo sukurta, remiantis kryžminimo schemomis, gautomis iš ref. 28. Orientuotų ryšių ekvivalentiškumas buvo nustatytas darant prielaidą, kad visos orientacinės permutacijos su identiškais HOMFLY-PT polinomais yra topologiškai lygiavertės. Atskirtų ir junginių topologijų HOMFLY-PT polinomas buvo apskaičiuotas algebriškai iš jų komponentų HOMFLY-PT polinomų ir įtrauktas į sąrašą. Mes ne traktuojame konfigūracijų su papildomais nenuosekliaisiais elementais kaip atskiras topologijas ir neišskiriame atskirtos ir sudėtinės topologijos. (Atkreipiame dėmesį, kad skilimo takuose retai pastebimi atsiriboję mazgai, be to, juos sunku atskirti nuo sudėtinių mazgų naudojant HOMFLY-PT polinomus, jei taip pat yra ir nenuosekliųjų mazgų.) Yra keli mazgai / saitai su identiškais HOMFLY-PT polinomais n ≥ 9, tačiau nė vieno iš šių atvejų mes nesimatome stebėdami mazgų, prasidedančių n ≤ 8, kelius, kurie buvo naudojami skaičiavimo skilimo keliams apskaičiuoti.

Nuorodos

  1. 1.

    Raymer, DM & Smith, DE Spontaniškas sujaudintos stygos mazgas. Proc. Natl Acad. Mokslas. JAV 104, 16432–16437 (2007).

      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  2. 2.

    Shimokawa, K., Ishihara, K., Grainge, I., Sherratt, DJ & Vazquez, M. FtsK priklausoma XerCD-dif rekombinacija palaipsniui atsieja replikacijos katenanus. Proc. Natl Acad. Mokslas. JAV 110, 20906–20911 (2013).

      • CAS
      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  3. 3.

    Kleckneris, D. ir Irvinas, WTM. Mezginių sūkurių kūrimas ir dinamika. Gamta fiz. 9, 253–258 (2013).

      • CAS
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  4. 4.

    Cirtain, JW ir kt. Energijos išsiskyrimas saulės spindulio koronoje iš erdviniu požiūriu išskaidytų magnetinių gijų. Gamta 493, 501–503 (2013).

      • CAS
      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  5. 5.

    Thomson, W. Dėl sūkurinių atomų. Philos. Mag. XXXIV, 94–105 (1867).

      • „Google Scholar“
  6. 6.

    Moffatt, HK Susivėlusių sūkurinių linijų mazgų laipsnis. J. Fluidas Mechas. 35, 117–129 (1969).

      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  7. 7

    Bergeris, MA Įvadas į magnetinį sraigtą. Plazmos fiz. Kontrolė. „Fusion 41“, B167 – B175 (1999).

      • CAS
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  8. 8.

    Proment, D., Onorato, M. & Barenghi, C. Vortex mazgai susideda iš Bose – Einšteino kondensato. Fiz. E 85 red. , 2012 m., 1–8 d.

      • CAS
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  9. 9.

    Wasserman, SA & Cozzarelli, NR Biocheminė topologija: DNR rekombinacijos ir replikacijos taikymas. Science 232, 951–960 (1986).

      • CAS
      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  10. 10.

    Tkalec, U. et al. Pertvarkomi mazgai ir saitai chiraliniuose nematiniuose koloiduose. Mokslas 333, 62–65 (2011).

      • CAS
      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  11. 11.

    Bewley, GP, Paoletti, MS, „Sreenivasan“, KR ir „Lathrop“, DP Atkuriamų sūkurių, esančių per skystame helyje, apibūdinimas. Proc. Natl Acad. Mokslas. JAV 105, 13707–13710 (2008).

      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  12. 12.

    Scheeleris, MW, Kleckneris, D., Promentas, D., Kindlmannas, GL ir Irvinas, WTM Sraigtaspario išsaugojimas tekant skersai skalių, sujungiant sūkurinius ryšius ir mazgus. Proc. Natl Acad. Mokslas. JAV 111, 15350–15355 (2014).

      • CAS
      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  13. 13.

    Sumners, D. Užuolaidos kėlimas: topologijos panaudojimas paslėptam fermentų veikimui nustatyti. Ne. Esu. Matematika. Soc. 528–537 (1995).

      • „Google Scholar“
  14. 14

    Woltjer, L. Teorė apie bejėgius magnetinius laukus. Proc. Natl Acad. Mokslas. JAV, 44, 489–491 (1958).

      • CAS
      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  15. 15.

    Moffatt, H. & Ricca, R. Helicity ir Calugareanu invariantas. Proc. R. Soc. Lond. A 439, 411–429 (1992).

      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  16. 16.

    Barenghi, CF mazgai ir atkabinimai esant dideliam skysčių turbulencijai. Milanas J. Matematika. 75, 177–196 (2007).

      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  17. 17.

    Dennisas, MR, karalius, RP, Jackas, B., O'holleranas, K. ir Padgettas, M. Izoliuoti optinio sūkurio mazgai. Gamta fiz. 6, 118–121 (2010).

      • CAS
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  18. 18.

    Martinezas, A. ir kt. Abipusiai susivėlę koloidiniai mazgai ir sukeltos defektų kilpos nematikos laukuose. Gamta Mater. 13, 258–263 (2014).

      • CAS
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  19. 19.

    Pitaevskii, LP ir Stringari, S. Bose – Einstein kondensacija (Clarendon, 2003).

      • „Google Scholar“
  20. 20.

    Pieranski, P. in Ideal Knots (red. Stasiak, A., Katritch, V. & Kauffman, LH) („World Scientific“, 1998).

      • „Google Scholar“
  21. 21.

    Katritch, V. ir kt. Mazgų geometrija ir fizika. „Nature“, 384, 142–145 (1996).

      • CAS
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  22. 22.

    Akhmet'ev, P. ir Ruzmaikin, A. Skysčių ir plazmos dinamikos topologiniais aspektais, t. 218 (ed. Moffatt, HK, Zaslavsky, GM, Comte, P. ir Tabor, M.) 249–264 (NATO ASI serija, Springer, 1992).

      • „Google Scholar“
  23. 23

    Leadbeater, M., Winiecki, T., Samuels, DC, Barenghi, CF & Adams, CS Garso emisija dėl superfluidinių sūkurinių jungčių. Fiz. Lett. 86, 1410–1413 (2001).

      • CAS
      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  24. 24

    Ricca, R. L., Samuelsas, D. ir Barenghi, C. Sūkurio mazgų raida. J. Fluidas Mechas. 391, 29–44 (1999).

      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  25. 25

    Laingas, „CE“, „Ricca“, „RL & Sumners“, DWL Raktinio žandikaulio išsaugojimas anti-paralelinio ryšio metu. Mokslas. 9224 (2015) 5 rep .

      • CAS
      • PubMed
      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  26. 26

    Freydas, P. ir kt. Naujas polinomas mazgas ir saitai. Jaučio. Esu. Matematika. Soc. 12, 239–246 (1985).

      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  27. 27

    Przytycki, JH & Traczyk, P. Conway algebros ir sruogų lygiavertiškumas. Proc. Esu. Matematika. Soc. 100, 744–748 (1987).

      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  28. 28.

    Cha, JC & Livingston, C. Apie mazgą Informacija: mazgų invariantų lentelės (2015 m. Vasaris); //www.indiana.edu/ ∼ knotinfo

      • „Google Scholar“
  29. 29

    Reidemeister, K. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Vol. 5, 24–32 (Springeris, 1927).

      • „Google Scholar“
  30. 30.

    „Alexander“, JW & Briggs, GB Apie tipų mazgus. Ann. Matematika. 28, 562–586 (1926).

      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  31. 31

    Flammini, A. & Stasiak, A. Natūrali mazgų klasifikacija. Proc. R. Soc. Lond. A 463, 569–582 (2007).

      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  32. 32.

    Berloff, NG Padé Gross – Pitaevskii lygties vienatūrių bangų sprendinių apytiksliai įvertinimai. J. Phys. A 37, 1617–1632 (2004).

      • Straipsnis
      • „Google Scholar“
  33. 33.

    Donnelly, RJ Vortex skamba klasikinėje ir kvantinėje sistemose. Skysti Dyn. Res. 41, 051401 1–31 (2009).

      • „Google Scholar“

Atsisiųskite nuorodas

Padėkos

Autoriai pripažįsta M. Scheelerį ir D. Promentą už naudingas diskusijas. Šis darbas buvo remiamas Nacionalinio mokslo fondo (NSF) fakulteto Ankstyvosios karjeros plėtros (CAREER) programos (DMR-1351506) ir iš dalies baigtas ištekliais, kuriuos suteikė Čikagos universiteto Tyrimų kompiuterijos centras ir NVIDIA korporacija. WTMI taip pat pripažįsta AP Sloan fondo paramą per Sloan stipendiją ir Packard fondo paramą per Packard stipendiją.

Papildoma informacija

PDF failai

  1. 1.

    Papildoma informacija

    Papildoma informacija

Vaizdo įrašai

  1. 1.

    1 papildomas filmas

    Papildomas filmas

  2. 2.

    2 papildomas filmas

    Papildomas filmas

  3. 3.

    3 papildomas filmas

    Papildomas filmas

  4. 4.

    4 papildomas filmas

    Papildomas filmas

  5. 5.

    5 papildomas filmas

    Papildomas filmas